수학이란 학문이 일반화와 엄밀성을 추구하며 복잡한 수식과 추상적인 개념을 동반하는 이유로 우리의 생활과 저만치 떨어져 있는 듯 보이지만, 다른 학문과 같이 역시 이 세상의 원리를 탐구하는 학문이다. 또한 이 세상의 원리를 탐구하는 것이기에 필연적으로 세상의 문제를 해결하는 데 기여한다. 매듭이라는 간단한 대상으로부터도 세상을 구성하는 원리를 도출하며 실용적 분야에 기여하는 학문, 그것이 수학이다.


흔히 ‘수학’이라고 하면 복잡한 수식과 그 의미를 이해하기 어려운 추상적인 문구들을 떠올린다. 이러한 이유로 수학은 인간의 일반적인 사고 범주와 실생활로부터 멀리 떨어져 있는 학문이라고 생각하기 쉽다. 그러나 수학도 인간이 하는 학문이다. 복잡한 수식과 문구들은 수학적 문제를 해결하기 위한 과정에서 나타나는 겉모습일 뿐이다. 여러 수학적인 문제들의 근본적인 동기나 기원을 따라 올라가보면 그것이 결코 우리가 살고 있는 이 세계와 별개의 것이 아님을 알 수 있다. 또한 많은 수학적 결과들이 실생활이나 타 분야의 학문 연구에 적용되고 있다. 이러한 예로서 수학의 작은 분야인 매듭론(Knot Theory)에 대해 간략히 언급하고자 한다.

 
<그림1>
장식을 위한 전통매듭 		<그림 2>
산악등반을 위해 사용되는 매듭
<그림3>

 


인간은 오래전부터 여러 가지 색상의 실로 매듭을 엮어 아름다운 장식으로 사용하거나 밧줄을 매듭 지워서 실생활에 사용해 왔다(그림 1·2). 매듭론은 폐곡선으로 구성된 매듭에 관해 연구하는 분야로 다양한 매듭들을 분류하고 구분하는 것을 목적으로 한다. ‘구분한다’함은, 2개의 폐곡선 매듭이 주어졌을 때 하나의 매듭을 폐곡선인 상태로 유지하여 다른 하나의 매듭으로 변형할 수 있는가를 수학적으로 엄밀하게 판정하는 것을 의미한다.

<그림 3>에서 왼편의 두 매듭은 풀린 매듭이고, 오른편의 두 매듭은 서로 동일한 매듭이지만 풀린 매듭이 아니다. 매듭론을 학문으로 시작하게 된 동기는 분자의 화학적 성질이 이를 구성하는 원자들이 어떻게 꼬여서 매듭을 이루고 있는가에 달려있다는, 켈빈(Kelvin)의 볼텍스이론으로부터 출발한다.

간단한 매듭인 경우 인간의 지각만으로도 쉽게 두 매듭의 동일 여부를 판정할 수 있겠지만 아주 복잡한 매듭들인 경우, 그 동일 여부를 판별하는 일반적인 방법을 찾기는 어렵다.

그 방법을 찾기 위해 수학자들은 기존의 대수학, 기하학, 조합론들로부터 유래한 다양한 수학적인 방법들을 매듭 연구에 적용하는 동시에 새로운 이론들을 개발해 왔다.

매듭론은 ‘매듭’이라는 간단하고 눈에 보이는 객체를 그 연구 대상으로 하지만, 놀랍게도 수학의 커다란 한 분야인 위상수학(Topology), 그리고 물리, 생물학과도 깊은 연관을 가진다. 매듭의 분류는 3·4차원 공간의 분류 및 성질을 연구하는 데 있어 중요한 역할을 한다. 또한, 매듭의 연구를 위해 사용되어지는 대수이론은 양자이론의 연구를 위해 사용되어지는 대수이론과 매우 유사하다. 어찌 보면 간단한 대상물이지만, 역시 이 세계 안에 존재하는 것이므로 그 안에 세상을 구성하는 근본원리를 담고 있는 것이 아닐까?

또한 매듭론은 최첨단의 정보기술과 생명공학기술에도 응용되고 있다. 2000년 초반 매듭을 일목요연하게 표현하기 위해 연구된 군대수이론을 이용하여 새로운 암호화 방법이 고안되어 주목을 끈 바 있다.

따임군(Braid Group) 암호라 불리는 이 암호체계는 우리나라에서 개발된 최초의 독자적 암호 기반기술이다. 매듭론은 유전자의 기하학적 구조를 연구하는 데도 이용되고 있는데 DNA, RNA 사슬이 복제되는 과정에서 꼬여 있다는 사실을 이용한 발상이다.

비록 수학이란 학문이 일반화와 엄밀성을 추구하며 복잡한 수식과 추상적인 개념을 동반하는 이유로 우리의 생활과 저만치 떨어져 있는 듯 보이지만, 다른 학문과 같이 역시 이 세상의 원리를 탐구하는 학문이다. 또한 이 세상의 원리를 탐구하는 것이기에 필연적으로 세상의 문제를 해결하는 데 기여한다. 매듭이라는 간단한 대상으로부터도 세상을 구성하는 원리를 도출하며 실용적 분야에 기여하는 학문, 그것이 수학이다.